“	Có những cải cách trong giáo dục cần một thời gian chuẩn bị, nghiên cứu và thử nghiệm lâu dài vì chúng tác động đến cả một thế hệ học sinh với những hiệu ứng khó lường nhưng cũng có những việc làm cụ thể, đơn giản, thiết thực mà bất kỳ ai cũng có thể thực hiện để góp phần làm giàu nguồn tài nguyên giáo dục bằng tiếng Việt cho người Việt Nam, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nước nhà.	”
	— Tiến Sỹ Đào Hồng Thu

Đề thi, Toán học, Olympic Toán Quốc tế, IMO, 2007

Bài từ Thư viện Đề thi VLOS.

(đổi hướng từ Toán học, Olympic Toán Quốc tế, IMO, 2007)

Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

Kì thi Olympic Toán Quốc tế
Môn thi	Toán học
Đơn vị ra đề	IMO
Năm thi	2007
Lớp học	12
Thời gian	2 ngày
Thang điểm	10

Tiếng Anh

Day 1 - 25 July 2007

1. Real numbers $a_1,\ a_2,\ ...,\ a_n$ are given. For each $i, (1 \le i \le n)$ , define $d_i = \max\{a_j|1 \le j \le i\} - \min\{a_j|1 \le j \le i\}$

and let $d = \max\{d_i|1 \le i \le n\}$ .

(a) Prove that, for any real numbers $x_1 \le x_2 \le ... \le x_n,\ \max\{|x_i-a_i|\ |1 \le i \le n\} \ge \frac d 2.$ (*)

(b) Show that there are real numbers $x_1 \le x_2 \le ... \le x_n$ such that the equality holds in (*).

2. Consider five points A, B, C, D and E such that ABCD is a parallelogram and BCED is a cyclic quadrilateral. Let l be a line passing through A. Suppose that l intersects the interior of the segment DC at F and intersects line BC at G. Suppose also that EF = EG = EC. Prove that l is the bisector of angle DAB.

3. In a mathematical competition some competitors are friends. Friendship is always mutual. Call a group of competitors a clique if each two of them are friends. (In particular, any group of fewer than two competitiors is a clique.) The number of members of a clique is called its size.

Given that, in this competition, the largest size of a clique is even, prove that the competitors can be arranged into two rooms such that the largest size of a clique contained in one room is the same as the largest size of a clique contained in the other room.

Day 2 - 26 July 2007

4. In triangle ABC the bisector of angle BCA intersects the circumcircle again at R, the perpendicular bisector of BC at P, and the perpendicular bisector of AC at Q. The midpoint of BC is K and the midpoint of AC is L. Prove that the triangles RPK and RQL have the same area.

5. Let a and b be positive integers. Show that if 4ab - 1 divides $(4a^2 - 1)^2\,$ , then a = b.

6. Let n be a positive integer. Consider $S = \{(x,y,z)|x,y,z \in \{0,1, ..., n\}, x + y + z > 0\}$ as a set of $(n + 1)^3 - 1\,$ points in the three-dimensional space. Determine the smallest possible number of planes, the union of which contains S but does not include (0,0,0).