“	Có những cải cách trong giáo dục cần một thời gian chuẩn bị, nghiên cứu và thử nghiệm lâu dài vì chúng tác động đến cả một thế hệ học sinh với những hiệu ứng khó lường nhưng cũng có những việc làm cụ thể, đơn giản, thiết thực mà bất kỳ ai cũng có thể thực hiện để góp phần làm giàu nguồn tài nguyên giáo dục bằng tiếng Việt cho người Việt Nam, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nước nhà.	”
	— Tiến Sỹ Đào Hồng Thu

Đề thi, Toán học, Lớp 9, Học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh, 2007

Bài từ Thư viện Đề thi VLOS.

(đổi hướng từ Toán học, Lớp 9, Học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh, 2007)

Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

ĐỀ THI TUYỂN HSG
Trường học	Học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh
Lớp học	9
Năm học	2007
Môn thi	Toán học
Thời gian	150 phút
Thang điểm	20

Câu 1: (3 điểm)

Thu gọn các biểu thức sau:

a) $A = \sqrt{6+2\sqrt{5} -\sqrt{29 - 12\sqrt{5}}};$

b) $B = \sqrt{8 + \sqrt{8} + \sqrt{20} + \sqrt{40}};$

c) $C = \left(\frac{15}{\sqrt{6}+1}+\frac{4}{\sqrt{6}-2}-\frac{12}{3-\sqrt{6}}\right).(\sqrt{6}+11).$

Câu 2: (3 điểm)

a) Chứng minh: $(x + y + z)^2 \le 3(x^2 + y^2 + z^2)\ \ \forall x, y, z \in \mathbb{R}.$

b) Cho $x + y + z = 1,\ x \ge \frac{-1}{4},\ y \ge \frac{-1}{4},\ z \ge \frac{-1}{4}.$ Chứng minh rằng:

$\sqrt{4x + 1}+\sqrt{4y + 1}+\sqrt{4z + 1} \le \sqrt{21}.$

Dấu bằng xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu?

Câu 3: (4 điểm)

Giải hệ phương trình và phương trình:

$a)\ \begin{cases}\cfrac{xy}{x+y} = \cfrac{12}{5} \\ \cfrac{yz}{y+z} = \cfrac{18}{5} \\ \cfrac{zx}{z+x} = \cfrac{36}{13};\end{cases}$

$b)\ \sqrt{\frac{x^2}{4} + \sqrt{x^2-4}} = 8 - x^2.$

Câu 4: (2 điểm)

Cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0\,$ có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.

Câu 5: (4 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn (O) (M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằng trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.

b) Chứng minh rằng tổng AC + BD không đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.

c) Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh OA² = OB² = OH.OK.

Câu 6: (4 điểm)

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có $\angle ACB = 45^\circ$ . Đường tròn đường kính AB cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN vuông góc với OC và $MN = \frac{AB}{\sqrt{2}}$ .