“	Có những cải cách trong giáo dục cần một thời gian chuẩn bị, nghiên cứu và thử nghiệm lâu dài vì chúng tác động đến cả một thế hệ học sinh với những hiệu ứng khó lường nhưng cũng có những việc làm cụ thể, đơn giản, thiết thực mà bất kỳ ai cũng có thể thực hiện để góp phần làm giàu nguồn tài nguyên giáo dục bằng tiếng Việt cho người Việt Nam, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nước nhà.	”
	— Tiến Sỹ Đào Hồng Thu

Đề thi, Toán học, HSG lớp 12, Sở GD-ĐT Nam Định, 2008

Bài từ Thư viện Đề thi VLOS.

(đổi hướng từ Toán học, HSG lớp 12, Sở GD-ĐT Nam Định, 2008)

Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

Kì thi HSG lớp 12
Môn thi	Toán học
Đơn vị ra đề	Sở GD-ĐT Nam Định
Năm thi	2008
Lớp học	12
Thời gian	180 phút
Thang điểm	20

Bài 1 (2 điểm - Trắc nghiệm khách quan). Trong các câu hỏi sau đây, mỗi câu có nêu 4 phương án trả lời (có các chữ cái A, B, C, D đứng trước), trong đó chỉ có một phương án đúng. Hãy chọn phương án trả lời mà em cho là đúng, bằng cách viết ra chữ cái in đứng trước phương án đó.

Câu 1: Điểm cực trị của hàm số y = x⁴ - 8x³ - 20 là

A. x = 0 và x = 1

B. x = 0 và x = 6

C. x = 6

D. x = 0

Câu 2: Tìm điểm cực đại của hàm số $y = x + 2\sqrt{x^2+1}$ được kết quả là

A. $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

B. $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

C. $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

D. không có điểm cực đại

Câu 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² 10x + 3. Số các tiếp tuyến của (C) kẻ qua điểm M(3; -27) là

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 4: Cho hàm số $y = \frac{x^2+mx+m^2-1}{x-1}$ (với tham số m). Các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là

A. $m \ne$ 0 và $m \ne -1$

B. $m \ne$ 0

C. $m \ne -1$

D. với mọi m

Bài 2 (5,0 điểm)

Cho hệ phương trình $\begin{cases}x+y = m \\ x^2 + y^2 = 2m - 3m^2 \end{cases}$ (với m là tham số)

1) Giải hệ phương trình khi $m = \frac 1 2$

2) Xét tất cả các nghiệm (x; y) của hệ phương trình đã cho, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = x 2 y + x y 2$

Bài 3 (7,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường Elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ với hai tiêu điểm là F₁ và F₂. M là điểm nằm trên (E).

a) Chứng minh rằng: khi M thay đổi thì OM² + MF₁.MF₁ có giá trị không đổi. Tính giá trị đó.

b) Khi điểm M không thuộc trục Ox, chứng minh rằng: đường thẳng chứa đường phân giác ngoài của góc tại đỉnh M của tam giác MF₁F₂ chỉ có một điểm chung duy nhất với (E).

2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), N(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) thay đổi đi qua đường thẳng AN, sao cho (P) lần lượt cắt trục Oy tại điểm B có tung độ là b > 0 và cắt trục Oz tại điểm C có cao độ là c > 0.

Chứng minh: 2(b + c) = bc. Hãy xác định b và c để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Bài 4 (2,5 điểm)

Giải bất phương trình: $\; 4^x + \frac{3}{4}x^2 - 1 \ge 0$