“	Có những cải cách trong giáo dục cần một thời gian chuẩn bị, nghiên cứu và thử nghiệm lâu dài vì chúng tác động đến cả một thế hệ học sinh với những hiệu ứng khó lường nhưng cũng có những việc làm cụ thể, đơn giản, thiết thực mà bất kỳ ai cũng có thể thực hiện để góp phần làm giàu nguồn tài nguyên giáo dục bằng tiếng Việt cho người Việt Nam, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nước nhà.	”
	— Tiến Sỹ Đào Hồng Thu

Đề thi, Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2007

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học	Sở GD-ĐT Nam Định
Lớp học	12
Năm học	2007
Môn thi	Toán học
Thời gian	180 phút
Thang điểm	20

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho hàm số $y = f(x) = \frac 1 2\sin 2x - \frac 1 2\cos 2x + ax \qquad (1)$

Bài 2 (5,0 điểm)

Cho phương trình $4^{\sqrt{1 - x^2}} + 2^{1-\sqrt{1 - x^2}} = m$ với m là tham số.

Bài 3 (4,0 điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;2;0), điểm B(1;0;-1) và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x + 2y - z - 6 = 0.

Tìm toạ độ điểm C sao cho đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (P), đồng thời C cách đều điểm B và gốc toạ độ O.
Với tham số m, xét điểm M(2, m, 2m). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABM, khi tham số m thay đổi.

Bài 4 (4,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C₀) có phương trình: $x^2 + y^2 + 4\sqrt{3}x - 4 = 0$ và điểm $F(2\sqrt{3};0)$ .

Gọi A là giao điểm có tung độ dương của đường tròn (C₀) với trục tung. Hãy lập phương trình đường tròn (C₁); biết rằng (C₁) có bán kính bằng 2, đồng thời hai đường tròn (C₀) và (C₁) tiếp xúc ngoài với nhau tại A.
Giả sử đường tròn (C) có tâm I thay đổi, sao cho (C) luôn đi qua F và tiếp xúc với (C₀). Chứng minh rằng I thuộc một đường hypebol cố định; hãy viết phương trình của đường hypebol đó.

Bài 5 (2,0 điểm)

Tìm tất cả các cặp số (x; y) với x và y là các số nguyên dương thoả mãn:

$(x+y)^{\frac{x-y}{x+y}} = x - y$ _______________________________Hết_______________________________

Ý KIẾN CỦA BẠN

Gõ tiếng Việt có dấu:
	(Hỗ trợ định dạng wikitext)