Toán học, HSG lớp 12, Học sinh giỏi Quốc Gia, 2009-2010
Bài từ Thư viện Đề thi VLOS.
| Kì thi HSG lớp 12 | |
| Môn thi | Toán học |
| Đơn vị ra đề | Bộ Giáo dục - Đào tạo |
| Năm thi | 2010 |
| Lớp học | 12 |
| Thời gian | ? phút |
| Thang điểm | ? |
Câu 1. Giải hệ
x4 − y4 = 240. x3 − 2y3 = 3(x2 − 4y2) − 4(x − 8y).
Câu 2. 
.
a. Tìm công thức dãy an.
b. Chứng minh rằng dãy an giảm.
Câu 3. Cho đường tròn (O). Hai điểm B,C cố định trên đường tròn, BCkhông phải đường kính. Lấy A là một điểm trên đường tròn không trùng với B,C. AD,AE là các đường phân giác trong và ngoài. I là trung điểm của DE. Qua trực tâm tam giác ABC kẻ đường thẳng vuông góc với AI cắt AD,AE tại M,N.
a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b. Tìm A sao cho S(AMN) lớn nhất.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n phương trình
x2 + 15y2 = 4n có n nghiệm tự nhiên.
Câu 5. Cho bảng 3.3 và n là một số nguyên dương cho trước. Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi 1 trong n màu. Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu 1 cách nhận được từ cách kia bởi 1 phép quay quanh tâm. (Nguồn: mathscope)
