Toán,kỹ sư tài năng,.Đại học Bách khoa Hà Nội,1998

Bài từ Thư viện Đề thi VLOS.

ĐỀ THI TUYỂN KỸ SƯ TÀI NĂNG
Trường học	Đại học Bách Khoa Hà Nội
Lớp học	12
Năm học	1998
Môn thi	Toán học
Thời gian	? phút
Thang điểm	10

---

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (x,a,b,c,d ∈ R, a ≠ 0) (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi a = 4 , b = d = 0 , c = -3

b. A,B,C là 3 điểm bất kì trên đồ thị (1) và thẳng hàng. Tiếp tuyến của đồ thị (1) kẻ tại 3 điểm A,B,C cắt đồ thị lần lượt tại A,B,C. Chứng minh A,B,C thẳng hàng

c. Giả sử hàm số (1) thoả mãn điều kiện │f(x)│ ≤ 1, ∀x ∈ [-1,1]. Chứng minh │a│ ≤ 4

Câu 2: Với n là số nguyên dương, xét hàm số F(x) = sinnx + cosnx - 1/n (x ∈ R)

a. Khi n = 8 giải pt F(x)=0;

b. Tìm tất cả các giá trị của n để bất pt F(x) ≥ 0 được thoả mãn ∀x

Câu 3:

Ba cạnh OA, OB, OC của tứ diện OABC đôi một vuông góc với nhau ; OA = a , OB = b , OC = c M là 1 điểm bất kì trên AB. S là tổng các khoảng cách từ 3 điểm A,B,C đến đường thẳng OM Chứng minh S ≤ √[2(a2 + b2 + c2)]. Khi nào có đẳng thức

Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

F(x)= [ cos(8x) - cos(7x) ] / [ 1 + 2cos(5x) ]

x thỏa mãn điều kiện để F(x) có nghĩa

Phạm Quỳnh Thảo-Diễn đàn Olympia Việt Nam