Đại số, kết thúc học phần, trường ĐH Công nghệ, Đại học QGHN, 2006

Bài từ Thư viện Đề thi VLOS.

ĐỀ THI ĐẠI HỌC Năm 2 Khoá 50
Trường học	Đại học Công nghệ, ĐH Quốc gia HN
Lớp học	Đại học
Năm học	2006
Môn thi	Đại số
Thời gian	90 phút
Thang điểm	3 đơn vị học trình

Bài 1.

Trong không gian R4, tìm cơ sở và số chiều của không gian véctơ con sinh bởi hệ các véctơ sau:

{α1 = (1,0,0,-1); α2 = (2,1,1,0); α3 = (1,1,1,1); α4 = (1,2,3,4) }.

Bài 2.

Cho các phép biến đổi tuyến tính f, g : V  V. Chứng minh gf là đẳng cấu khi và chỉ khi g và f là các đẳng cấu.

Bài 3.

Cho S = {e1, e2, e3} là một cơ sở của không gian véctơ V. Phép biến đổi tuyến tính ƒ trên V có ma trận trong cơ sở S là:

a) Tìm một cơ sở T của V sao cho ma trận của ƒ trong cơ sở đó có dạng chéo.

b) Cho a = (1,2,-1) trong cơ sở T. Hãy viết ƒ(a) trong cơ sở S.

Bài 4.

a) Tìm dạng chính tắc của dạng toàn phương sau:

x₁² - 2x₂² + x₃² + 2x₁x₂ + 4x₁x₃ + 2 x₂x₃.

b) Áp dụng quá trình Gram-Smidth để đưa cơ sở sau thành cơ sở trực chuẩn:

{v₁ = (0,8,8); v₂ = (-7,8,1); v₃ = (-6,9,1)}.